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工程硕士考试:数列与组合概念及例题
2016年07月01日 来源:清大在线

   转眼已经到7月份了,一年的下半年又开始了,今年的工程硕士全国统考还是会如期举行,那么我们不难看出想要复习考试通过,就一定要抓紧时间,下面是数学的一些定理及数学例题希望大家能继续努力!顺利通过全国统考获得双证!

 

  一、等差数列
 
  一个等差数列由两个因素确定:首项a1和公差d. 得知以下任何一项,就可以确定一个等差数列(即求出数列的通项公式):
 
  1、首项a1和公差d
 
  2、数列前n项和s(n),因为s(1)=a1,s(n)-s(n-1)=a(n)
 
  3、任意两项a(n)和a(m),n,m为已知数
 
  等差数列的性质:
 
  1、前N项和为N的二次函数(d不为0时)
 
  2、a(m)-a(n)=(m-n)*d 3、正整数m、n、p为等差数列时,a(m)、a(n)、a(p)也是等差数列
 
  例题1:已知a(5)=8,a(9)=16,求a(25) 解: a(9)-a(5)=4*d=16-8=8 a(25)-a(5)=20*d=5*4*d=40 a(25)=48
 
  例题2:已知a(6)=13,a(9)=19,求a(12) 解:a(6)、a(9)、a(12)成等差数列 a(12)-a(9)=a(9)-a(6) a(12)=2*a(9)-a(6)=25。
 
  二、等比数列
 
  一个等比数列由两个因素确定:首项a1和公差d. 得知以下任何一项,就可以确定一个等比数列(即求出数列的通项公式):
 
  1、首项a1和公比r
 
  2、数列前n项和s(n),因为s(1)=a1,s(n)-s(n-1)=a(n)
 
  3、任意两项a(n)和a(m),n,m为已知数
 
  等比数列的性质:
 
  1、a(m)/a(n)=r^(m-n)
 
  2、正整数m、n、p为等差数列时,a(m)、a(n)、a(p)是等比数列
 
  3、等比数列的连续m项和也是等比数列即b(n)=a(n)+a(n+1)+...+a(n+m-1)构成的数列是等比数列。
 
  三、M个球放入N个盒子的放法习题
 
  M个球放入N个盒子的放法 N个盒子编号为1到N, 把M个相同的球放入这N个不相同的盒子,问共有多少种放法。
 
  很多题目都与这个问题相关, 我把公式贴在这里.一般规律,M个球任意放入N个盒子,放法总数为:C(M+N-1,N-1)
 
  思路:把M+N-1个球中任意N-1个球变成隔断,就等于把M个球分成了N组,即装入N个盒子。所以放法总数为:C(M+N-1,N-1)这里无论M和N哪个大,公式都成立。
 
  如果要求每个盒子至少有一个球,则要求M>=N先把N个球装入N个盒子,再把M-N个球任意装入N个盒子,放法总数为:C(M-1,N-1)
 
  另一种思考方法:假设我们把M个球用细线连成一排,再用N-1把刀去砍断细线,就可以把M个球按顺序分为N组。则M个球装入N个盒子的每一种装法都对应一种砍线的方法。而砍线的方法等于M个球与N-1把刀的排列方式(如两把刀排在一起,就表示相应的盒子里球数为0)。所以方法总数为C(M+N-1,N-1)